تعريف التجربة وفضاء العينة والحدث وأنواعه

التجربة وفضاء العينة

قبل التعمق في مجال الاحتمالات وحساباتها يجب علينا التعرف على ما يعرف بالتجربة وهي الإجراء الذي يمكن وصفه وملاحظة ما ينتج عنه وبالإمكان أيضاً معرفة كل النتائج المتوقعة عن هذا الإجراء وهناك أمثلة كثيرة جداً للتجربة منها:

إلقاء حجر النرد أو إلقاء قطعة نقود أو سحب الكرات من الصندوق أو سحب البطاقات أو اختيار أوراق اللعب وما إلى ذلك

ويتحدد لكل تجربة ما يسمى بفضاء العينة Ω وهو من ناحية التعريف عبارة عن مجموعة تضم كل النتائج الممكنة لهذه التجربة

ولتثبيت التعرفين السابقين بشكل جيد نناقش العبارة التالية ونحدد فيها كلاً من التجربة وفضاء العينة (في تجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة فقط)

يتضح جلياً من العبارة أن التجربة هي إلقاء حجر النرد مرة واحدة أما فضاء العينة فهو المجموعة Ω التي تضم جميع النتائج المتوقعة لهذه التجربة وبالتالي Ω={1,2,3,4,5,6} لأننا عند إلقاء النرد لمرة واحدة سوف نحصل حتماً على عدد من ضمن هذه المجموعة تبعاً لترقيم أوجه النرد

هناك أيضاً ما يترتب على التجارب من أمور أخرى بالإضافة إلى فضاء العينة وهي تحقق الأحداث ونشير هنا إلى تعريف الحدث على أنه مجموعة جزئية من فضاء العينة Ω ويرمز لكل حدث بحرف لاتيني كبير للدلالة عليه وتمييزه عن غيره من الأحدث ويتحقق كل حدث تبعاً لشرط معين على التجربة

فمثلاً في تجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة فقط يمكن تعريف العديد من الأحداث وذلك بوضع الشروط المختلفة على التجربة ف مثلاً

لدينا الحدث A وهو ظهور عدد فردي وكذلك الحدث B وهو ظهور عدد زوجي والحدث C وهو ظهور عدد أولي

والكثير من الأحداث الأخرى ضمن هذه التجربة البسيطة وبسبب العدد الكبير للأحداث في كل تجربة أكد العلماء على ضرورة تصنيف الأحداث ضمن عدة أنواع سنقوم بذكرها فيما يلي مع ذكر بعض الأمثلة عنها:

أنواع الحدث :

الحدث البسيط:

هو الحدث الذي يحوي على نتيجة واحدة فقط

مثال:

ظهور العدد (1) في تجربة الإلقاء السابقة لحجر النرد مرة واحدة

الحدث المركب:

هو الحدث الذي يحوي على أكثر من نتيجة

مثال:

كل من الأحداث A,B,C في التجربة السابقة يعد حدثاً مركباً لأن كلاً منهم يحتوي على ثلاث نتائج

الحدث المستحيل:

هو الحدث الذي لا يحوي على أي نتيجة من فضاء العينة ويرمز له بالرمز ∅

مثال:

الحدث D وهو ظهور عدد أكبر تماماً من ال6 أو أصغر تماماً من ال0 في التجربة السابقة

الحدث الأكيد:

وهو الحدث الذي يحوي جميع عناصر فضاء العينة Ω

مثال:

الحدث E وهو ظهور عدد أكبر أو يساوي ال1 وأصغر أو يساوي ال6 في التجربة السابقة

والآن سنذكر بعض العلاقات بين الأحداث التي يمكن وصف الأحداث بها

الحدثان المتنافيان:

هما الحدثان المانعان لبعضهما أي" لا يمكن أن يقعان معاً لأن وقوع الأول يمنع وقوع الثاني والعكس " ومثال عليها كلٌ من الثنائيات (A,B) ,(D,E) وكل حدثان متنافيان يحققان العلاقة:

الحدث الثاني ∩ الحدث الأول = ∅

أي لدينا العلاقتين المحققتين

(∅ = A ∩ B ) ,(∅ = D ∩ E )

الحدثان الغير متنافيان:

هما الحدثان اللذان يمكن وقوعهما في آنٍ معاً أي " وقوع أحدها لا يمنع وقوع الآخر" والحدثان الغير متنافيان يحققان العلاقة

الحدث الثاني ∩ الحدث الأول ≠ ∅

ومثال على هذه الحالة لدينا الحدثان A ,C فمن الممكن أن يظهر العدد5 وهو عدد فردي فيكون قد حقق إحدى نتائج الحدث A وفي ذات الوقت هو عدد أولي فقد حقق هنا إحدى نتائج الحدث C وتتحقق العلاقة :

∅ ≠ A ∩ C

الأحداث المستقلة:

هي الأحداث التي إذا وقع أحدها فإنه لا يؤثر على وقوع الآخر

مثال:

في التجربة السابقة يمكننا تعريف كلاً من الأحداث :