التوزيع الطبيعي

أمثلة وخواص:

يعتبر التوزيع الطبيعي من أهم التوزيعات الاحتمالية المستمرة التي تستخدم في التحليل الإحصائي.
يستخدم لوصف المتغيرات العشوائية التي تميل إلى التمركز حول قيمة متوسطة (القيم تكون غير متساوية) وإنما متناثرة حول الوسط الحسابي.
عندما نقوم برسم القيم فإنها طبيعياً تتخذ شكل الجرس.
نقول عن xمتغير عشوائي مستمر يخضع للتوزيع الطبيعي بالمتوسط μ وتباين $σ^{2}$ ونعبر عنه رياضياً بالشكل:

X ~ N (μ, σ^{2})

دالة الكثافة الاحتمالية:

تعطى دالة الكثافة الاحتمالية بالشكل:

F (x) = {\begin{matrix} 0; o t h e r w i s e \\ \frac{1}{σ \sqrt 2 π} \times e^{\frac{- (x - μ)^{2}}{2 \times σ^{2}}}; - \infty < x < \infty \end{matrix}

خصائص التوزيع الطبيعي:

1]- E[X] = μ
1]-

V [x] = σ^{2}

أمثلة:

P (2 < Z < 3) = \emptyset (3) - \emptyset (2)

P (Z \geq 3) = 1 - P (Z < 3) = 1 - \emptyset (3)

التوزيع الطبيعي المعياري:

هو التوزيع الطبيعي الذي وسطه الحسابي μ=0 وتباينه $σ^{2} = 1$
وتكتب دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع الطبيعي المعياري :

F (z) = {\begin{matrix} 0; o t h e r w i s e \\ \frac{1}{\sqrt 2 π} \times e^{\frac{- z^{2}}{\sqrt 2 π}}; - \infty < z < \infty \end{matrix}

كيفية حساب القيمة P ( x 1 < x < x 2 ) ؟
نوجد المقدار:

Z = \frac{X - μ}{σ}

P (z_{1} < z < z_{2})

\emptyset (z_{2}) - \emptyset (z_{1})

وتؤخذ من جداول خاصة.

تقريب التوزيع ثنائي الحد للتوزيع الطبيعي :

يعتبر التوزيع الطبيعي تقريباً جيداً للتوزيع الثنائي عندما يكون عدد عناصر العينة N كبيرة،x متغير عشوائي منفصل يخضع للتوزيع الثنائي بالمعلمتين N,P يمكن اعتبار التوزيع الطبيعي كتقريب جيد ليس فقط من اجل N كبيرة فقط و P ليست قريبة من الصفر او الواحد المنتصف لكنها تمثل تقريباً جيداً عندما تكون n صغيرة و P قريبة من 0.5 ويتحقق :

0 < P < 1

n . p \geq 5

n . q \geq 5

عندها نقوم برد التوزيع ثنائي الحد الى التوزيع الطبيعي بمتوسط قدره n.p وتباين n.p.q

اختبار مفاجئ

ليكن لدينا x متغير عشوائي يخضع للتوزيع الطبيعي بمتوسط μ=50 وانحراف معياري يساوي σ=10 اوجد احتمال ان يكون بين القيمتين 45 و62

0.5764

0.1934

0.6945

غير ذلك